Algèbre linéaire Exemples

$x - y + z = 3$ , $x + 2 y + 3 z = 17$ , $2 x + 3 y - 4 z = - 8$

Étape 1

Write the system as a matrix.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 17 \\ 2 & 3 & - 4 & - 8 \end{array}]$

Étape 2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Étape 2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 1 & 3 \\ 1 - 1 & 2 + 1 & 3 - 1 & 17 - 3 \\ 2 & 3 & - 4 & - 8 \end{array}]$

Étape 2.1.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 1 & 3 \\ 0 & 3 & 2 & 14 \\ 2 & 3 & - 4 & - 8 \end{array}]$

Étape 2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Étape 2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 1 & 3 \\ 0 & 3 & 2 & 14 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 3 - 2 \cdot - 1 & - 4 - 2 \cdot 1 & - 8 - 2 \cdot 3 \end{array}]$

Étape 2.2.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 1 & 3 \\ 0 & 3 & 2 & 14 \\ 0 & 5 & - 6 & - 14 \end{array}]$

Étape 2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Étape 2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 1 & 3 \\ \frac{0}{3} & \frac{3}{3} & \frac{2}{3} & \frac{14}{3} \\ 0 & 5 & - 6 & - 14 \end{array}]$

Étape 2.3.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} & \frac{14}{3} \\ 0 & 5 & - 6 & - 14 \end{array}]$

Étape 2.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 5 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Étape 2.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 5 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} & \frac{14}{3} \\ 0 - 5 \cdot 0 & 5 - 5 \cdot 1 & - 6 - 5 (\frac{2}{3}) & - 14 - 5 (\frac{14}{3}) \end{array}]$

Étape 2.4.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} & \frac{14}{3} \\ 0 & 0 & - \frac{28}{3} & - \frac{112}{3} \end{array}]$

Étape 2.5

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{3}{28}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

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Étape 2.5.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{3}{28}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} & \frac{14}{3} \\ - \frac{3}{28} \cdot 0 & - \frac{3}{28} \cdot 0 & - \frac{3}{28} (- \frac{28}{3}) & - \frac{3}{28} (- \frac{112}{3}) \end{array}]$

Étape 2.5.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} & \frac{14}{3} \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}]$

Étape 2.6

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{2}{3} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

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Étape 2.6.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{2}{3} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 1 & 3 \\ 0 - \frac{2}{3} \cdot 0 & 1 - \frac{2}{3} \cdot 0 & \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 & \frac{14}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}]$

Étape 2.6.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}]$

Étape 2.7

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

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Étape 2.7.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & - 1 - 0 & 1 - 1 & 3 - 4 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}]$

Étape 2.7.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}]$

Étape 2.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Étape 2.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 & - 1 + 1 \cdot 2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}]$

Étape 2.8.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}]$

Étape 3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x = 1$

$y = 2$

$z = 4$

Étape 4

The solution is the set of ordered pairs that make the system true.

$(1, 2, 4)$